打开迷惘之门：罗素悖论

数学一直被视为一门抽象且艰深的学科，但如果你有浓厚的兴趣，合适的教材和老师（自从 GPT 诞生后，你只需要问 AI），你可能会发现很多定理虽然证明起来很复杂，但它们并不抽象，因为每一个步骤都是可以理解的，它们建立在清晰，严格的定义之上。

但是，在所有这些可理解的数学背后，存在着不那么容易理解的数学。我不是在说“抽象代数”，而是比抽象代数还要抽象的领域：数理逻辑。

在这里我们不研究任何数学对象，而是直接研究符号本身。我们常说数学是物理学的语言，因为所有物理学定理都必须用数学来写。但字符串是数学的语言，因为所有数学定理都必须通过字符串表达。它是一个无穷旋转的漩涡，所有望向的目光都被它的中心吸引，一圈，一圈，又一圈...

诶？

我在第几圈？

什么是我？

我是我吗？

引言

欢迎来到知识海洋中最令人迷惘的海域，在这里，连我们用来讨论对象的语言本身也是对象的一部分，我要如何用一个东西来描述它自己？

为了给这种难明的滋味留下初步印象，我们先来一道开胃小菜——著名的罗素悖论。

我们都学过集合论，一些对象聚在一起便构成一个集合；集合完全由它的元素决定；集合之间还存在关系，而函数是一种特殊的关系。有了集合与函数，我们才有了熟悉的加、减、乘、除等数学运算。

但在建造数学大厦之前，必须先打好地基。众所周知，数学追求严谨：从定义出发，一步步推出结论。集合是一切的基础，因此哪怕它看上去再自然，也需要严格定义。

如果两个集合的元素完全相同，它们就是同一个集合。可是，在比较两个集合之前，我们得先回答：什么是集合？什么不是集合？

如果两个集合的元素完全相同，那么它们自然就相等（identical）。但在比较两个集合之前，我们得先给出集合的定义：什么是集合？什么不是集合？

表面上看，似乎任何东西放在一起都能组成集合：{爸爸，妈妈}{爸爸，妈妈} 是一个集合，{1}{1} 是一个集合，∅∅ 是集合，{{1},爸爸，妈妈}{{1},爸爸，妈妈} 也是集合。

但是，所有集合构成的那个东西，本身是集合吗？

20 世纪初，罗素提出了这个问题。答案是否定的：所有集合并不构成一个集合。这个论证后来被称为罗素悖论。

证明过程

我们用反证法：假设所有集合能够构成一个集合，称为 \(V\)，即 \(V\) 包含所有集合。

在 \(V\) 中构造 \[ R=\{x\in V\mid x\notin x\}. \] 由于 \(V\) 是集合，由分离公理，\(R\) 也是集合。又因为 \(V\) 包含所有集合，所以 \(R\in V\)。

按 \(R\) 的定义，对任意 \(x\in V\)，都有 \[ x\in R \iff x\notin x. \] 特别地，因为前面已有 \(R\in V\)，因此我们可以取 \(x=R\)，得到 \[ R\in R \iff R\notin R. \]

也就是说，设 \(P:R\in R\)，就得到 \[ P \iff \neg P. \] 在经典逻辑中，一个命题要么真要么假，因此 \(P\) 与 \(\neg P\) 不可能同时成立，因此不可能。

所以假设不成立：不存在“所有集合的集合”\(V\)。

结语

罗素悖论看似简单，但对于哪怕是已经熟悉这个问题的人依然很晦涩，这里的困难是语言---符号不停地自我指涉，\(R\) 是用所有 \(x\) 定义的，而 \(R\) 自己又是这些 \(x\) 之一。最困难的就是弄清楚在什么情况下我们可以写 \(x=R\)。